【线性代数的本质】逆矩阵、列空间、秩与零空间

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1 线性方程组
1.1 伴随矩阵
2 逆矩阵
3 线性方程组的解
4 秩
5 列空间
6 零空间
7 总结
8 非方阵
8.1 几何意义
8.2 非方阵乘法、非方阵行列式

线性方程组

在每个方程组中，未知量只具有常系数，这些未知量之间只进行加和，没有幂次、没有函数等。这就被成为线性方程组。

线性方程组就是矩阵A和x→的乘积：A是系数，x→是向量，以及他们的乘积v→向量。

从几何的角度来思考，矩阵A表示一个线性变换（即记录下线性变换的操作），我们需要找到一个x→使得它在变换后和v→重合。

使用之前的几何直观来翻译个公式即x→经过 矩阵变换后，恰好落在v→向量上，如下图：

如何求 x→。逆向思考，从v→ 出发，进行某一个矩阵变换，恰好得到x→ 。而这个反过来的矩阵变换，就称为 矩阵的逆矩阵，写成公式是：

所以通过在A矩阵的左侧乘以一个A的逆矩阵就得到求解x→的方程。

伴随矩阵

弹幕：伴随就是不但把变化后的向量拉回到原向量的位置，还要把向量拉伸的再缩放回去，就等于是把一个向量的方向和大小都给它变回基向量的位置。

逆矩阵

线性方程组的解

对于方程组Ax→=v→，线性变换A存在两种情况：

det(A)=0：空间被压缩到更低的维度，这时不存在逆变换，因为不能将一个直线解压缩为一个平面，这不是函数能做到的，压缩不可逆：

即使不存在逆变换，但解可能仍然存在，如果很巧，v→ 刚好落在压缩后的空间上：

det(A)≠0：这时空间的维数并没有改变，有且只有一个向量经过线性变换后和v→重合。

秩

除了0行列式外，我们还有特殊的属于来描述上述“压缩”、“解压缩”、解的存在情况，即——秩。

秩为1：变换后的结果是一维的，也就是落在一条直线上

秩为2：变换后落在一个平面上

  1. 秩是线性无关向量个数，秩代表变换后空间的维数，其实叫做“维度”可能更容易来理解。
  2. 行列式只能判断空间是否压缩为0，而秩能判断压缩为几维。

列空间

不管是一条线、一个平面还是三维空间，所以可能变换的结果的集合被称为矩阵的列空间，即所有列向量张成的空间。所以秩更精确的定义是列空间的维数。

当秩达到最大值时，意味着秩与列数相等，成为满秩。

变换后基向量张成的空间就是所有可能的变换结果；列空间就是矩阵的列张成的空间。更精确的定义——秩是列空间的维数

零空间

  • 图1：二维压缩到一个直线（一维），有一条直线（一维）的点被压缩到原点
  • 图2：三维压缩到一个面（二维），有一条直线（一维）的点被压缩到原点
  • 图3：三维压缩到一条线（一维），有一个面（二维）的点被压缩到原点

注意：压缩就是变换，变换就是矩阵，其实说的就是矩阵

变换后落在原点上的向量的集合称为矩阵的零空间或核。

当Ax→=v→中的v→是一个零向量，即Ax→=[00]时，零空间就是它所有可能的解。

这就是基础解系，而特解就是在变换后得到的直线空间上找的向量；

这里对应齐次方程组解的两种情况；这也解释了，为什么齐次线性方程组在系数矩阵不满秩的时候有无穷姐解；

压缩后在列空间内，说明之前就在原空间内，所以有解。而不在压缩后的空间内，说明原本就不在与原空间内，自然无解。；

AX=V，V经过A的变换后，如果落在A组成的列空间内，则有解，否则无解

总结

  1. 每个方程组都有一个线性变换与之联系，当逆变换存在时就可以利用逆变换求解方程组；
  2. 列空间可以让你知道什么时候存在解；
  3. 当v→恰好为0时，零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解。

非方阵

几何意义

Ps：没有升维，这是三维空间中的二维子空间。

即这是三维空间中的二维平面。

三维空间映射到二维空间：上图3×2的矩阵表示将一个三维空间映射到二维空间上。

二维空间映射到一维空间：一个1×2的矩阵：[12]表示一个二维空间映射到一维空间。

弹幕：与其说是降维，不如说是3D空间在2D空间的“投影”，就像手电筒照射物体投影在墙面一样。

总结：

非方阵乘法、非方阵行列式

【直观详解】线性代数的本质 | Go Further | Stay Hungry, Stay Foolish (charlesliuyx.github.io)

 

参考文献：【直观详解】线性代数的本质 | Go Further | Stay Hungry, Stay Foolish (charlesliuyx.github.io)

线性代数 | null (sanzo.top)

作者： 高志远

高志远，24岁，男生

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