本文已收录到：线性代数的本质学习笔记 专题
线性方程组
在每个方程组中，未知量只具有常系数，这些未知量之间只进行加和，没有幂次、没有函数等。这就被成为线性方程组。
线性方程组就是矩阵A和$\vec{x} $的乘积：A是系数，$\vec{x} $是向量，以及他们的乘积$\vec v$向量。
从几何的角度来思考，矩阵A表示一个线性变换（即记录下线性变换的操作），我们需要找到一个$\vec x$使得它在变换后和$\vec v$重合。
使用之前的几何直观来翻译个公式即$\vec{x} $经过 矩阵变换后，恰好落在$\vec v$向量上，如下图：
如何求 $\vec{x} $。逆向思考，从$\vec{v} $ 出发，进行某一个矩阵变换，恰好得到$\vec{x} $ 。而这个反过来的矩阵变换，就称为 矩阵的逆矩阵，写成公式是：
所以通过在A矩阵的左侧乘以一个A的逆矩阵就得到求解$\vec{x} $的方程。
伴随矩阵
弹幕：伴随就是不但把变化后的向量拉回到原向量的位置，还要把向量拉伸的再缩放回去，就等于是把一个向量的方向和大小都给它变回基向量的位置。
逆矩阵
线性方程组的解
对于方程组$A\vec x = \vec v$，线性变换A存在两种情况：
$det(A) =0$：空间被压缩到更低的维度，这时不存在逆变换，因为不能将一个直线解压缩为一个平面，这不是函数能做到的，压缩不可逆：
即使不存在逆变换，但解可能仍然存在，如果很巧，$\vec v$ 刚好落在压缩后的空间上：
$det(A) \neq0$：这时空间的维数并没有改变，有且只有一个向量经过线性变换后和$\vec v$重合。
秩
除了0行列式外，我们还有特殊的属于来描述上述“压缩”、“解压缩”、解的存在情况，即——秩。
秩为1：变换后的结果是一维的，也就是落在一条直线上
秩为2：变换后落在一个平面上
- 秩是线性无关向量个数，秩代表变换后空间的维数，其实叫做“维度”可能更容易来理解。
- 行列式只能判断空间是否压缩为0，而秩能判断压缩为几维。
列空间
不管是一条线、一个平面还是三维空间，所以可能变换的结果的集合被称为矩阵的列空间，即所有列向量张成的空间。所以秩更精确的定义是列空间的维数。
当秩达到最大值时，意味着秩与列数相等，成为满秩。
变换后基向量张成的空间就是所有可能的变换结果；列空间就是矩阵的列张成的空间。更精确的定义——秩是列空间的维数
零空间
- 图1：二维压缩到一个直线（一维），有一条直线（一维）的点被压缩到原点
- 图2：三维压缩到一个面（二维），有一条直线（一维）的点被压缩到原点
- 图3：三维压缩到一条线（一维），有一个面（二维）的点被压缩到原点
注意：压缩就是变换，变换就是矩阵，其实说的就是矩阵
变换后落在原点上的向量的集合称为矩阵的零空间或核。
当$A\vec x = \vec v$中的$\vec v$是一个零向量，即$A\vec x = \begin{bmatrix}0 \\0\end{bmatrix}$时，零空间就是它所有可能的解。
这就是基础解系，而特解就是在变换后得到的直线空间上找的向量；
这里对应齐次方程组解的两种情况；这也解释了，为什么齐次线性方程组在系数矩阵不满秩的时候有无穷姐解；
压缩后在列空间内，说明之前就在原空间内，所以有解。而不在压缩后的空间内，说明原本就不在与原空间内，自然无解。；
AX=V，V经过A的变换后，如果落在A组成的列空间内，则有解，否则无解
总结
- 每个方程组都有一个线性变换与之联系，当逆变换存在时就可以利用逆变换求解方程组；
- 列空间可以让你知道什么时候存在解；
- 当$\vec v$恰好为0时，零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解。
非方阵
几何意义
Ps：没有升维，这是三维空间中的二维子空间。
即这是三维空间中的二维平面。
三维空间映射到二维空间：上图3×2的矩阵表示将一个三维空间映射到二维空间上。
二维空间映射到一维空间：一个$1\times 2$的矩阵：$\begin{bmatrix}1&2 \end{bmatrix}$表示一个二维空间映射到一维空间。
弹幕：与其说是降维，不如说是3D空间在2D空间的“投影”，就像手电筒照射物体投影在墙面一样。
总结：
非方阵乘法、非方阵行列式
【直观详解】线性代数的本质 | Go Further | Stay Hungry, Stay Foolish (charlesliuyx.github.io)
参考文献：【直观详解】线性代数的本质 | Go Further | Stay Hungry, Stay Foolish (charlesliuyx.github.io)
