【线性代数的本质】基变换 - 高志远的个人主页

本文已收录于线性代数的本质学习笔记系列，共计 9 篇，本篇是第 7 篇

基向量

标准坐标系的基向量为 $\vec{i} : [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ 和 $\vec{j} : [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]$ ，假如詹妮弗有另一个坐标系：她的基向量为 $\vec{i} [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}]$ 和 $\vec{j} [\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}]$ 。
对于同一个点 $[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}]$ 来说他们所表示的形式不同，在詹妮弗的坐标系中表示为 $[\begin{matrix} \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} \end{matrix}]$ 。

实际用途：在电子地图中，视角的选择。

举例：

如果从标准坐标到詹尼佛的坐标系，可以得到一个线性变换 $A : [\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ 。

如果想知道詹妮弗的坐标系中点 $[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}]$ 在标准坐标系的位置，可以通过 $[\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}]$ 得到。
如果想知道标准坐标系中点 $[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}]$ 在詹妮弗坐标系的位置，可以通过 ${[\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]}^{- 1} [\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}]$ 得到。

再举一个具体的例子：90°旋转

为什么我们要关注坐标系变换？请看下一节的特征值和特征向量。

作者：高志远

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