【线性代数的本质】点积与对偶性

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1 点积（又称数量积或标量积）的计算
2 点积的几何解释
3 点积的顺序
4 点积与投影——解释为什么点积是这样运算的
4.1 对偶性

点积（又称数量积或标量积）的计算

对于两个维度相同的向量，他们的点积计算为：[12]⋅[34]=1⋅3+2⋅4=11。

Ps：高中数学向量乘积一般都是点乘，叉乘是高数才会教。

点积的几何解释

几何直观来说，v→可以想象成向量w→ 朝着过原点和向量v→的直线上的正交（垂直）投影，然后把投影的长度和向量 v→的长度乘起来就是点击的值。其中正负号代表方向，两个向量成锐角大于0；钝角小于0。

如果w→的投影与v→方向相反的话，点积为负值：

当w→的投影与v→方向垂直的话，点积为0：

点积的顺序

你可能会觉得，顺序在线性代数其实是很重要的，而对于v→和 w→它们的结果却是相同的，为什么呢？

解释的方法为：首先假设 v→ 和w→长度相同，利用对称轴，两个向量互相的投影相等；接下来如果你缩放其中一个到原来的两倍，对称性则被破坏，但是缩放比例没变，最终乘法的结果也没变：

可以通过相似三角形来理解：

点积与投影——解释为什么点积是这样运算的

为什么点积和坐标相乘联系起来了？这和对偶性有关。

对偶性

对偶性的思想是：每当看到一个多维空间到数轴上的线性变换时，他都与空间中的唯一一个向量对应，也就是说使用线性变换和与这个向量点乘等价。这个向量也叫做线性变换的对偶向量。

例如：

当二维空间向一维空间映射时，如果在二维空间中等距分布的点在变换后还是等距分布的，那么这种变换就是线性的：

但如果像下面这样变化，那么变换后就不是等距的：


假设有一个线性变换A[1−2]和一个向量v→=[43]。变换后的位置为[1−2][43]=4⋅1+3⋅−2=−2，这个变换是一个二维空间向一维空间的变化，所以变换后的结果为一个坐标值。我们可以看到线性变换的计算过程和向量的点积相同[1−2]⋅[43]=4⋅1+3⋅−2=−2，所以向量和一个线性变化有着微妙的联系。

总结上图：将向量转换为数的线性变化（即矩阵）和这个向量本身有着某种联系。也就是矩阵可由若干向量组成。

弹幕：矩阵与向量，在外观上类似，但表达的含义不同。矩阵代表变换，向量代表空间

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后面视频讲的非常精彩，移步：【-UP主汉语配音-【线性代数的本质】合集-转载于3Blue1Brown官方双语】】 【精准空降到 07:16】 https://www.bilibili.com/video/BV1ib411t7YR/?p=10&share_source=copy_web&vd_source=8387734dc2ae5c1793399ea83221d291&t=436

对偶性是指两种看似毫不相关的概念竟然天然的有着联系，这个在数学中也很常见。

作者： 高志远

高志远，24岁，男生

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